1. Primera demostración p = D + H/2, para conocer el nº de alelos :
   • Tamaño de la población = N -> nº de alelos = 2N
   • p = nb A1 / nb total = (2DN + HN) / 2N = D + H/2
   • p = nb A1 / nb total = (2DN + HN) / 2N = D + H/2
   • similar a A2 :
   • q = nb A2 / nb total = (2RN + HN) / 2N = R + H/2 (observar la semejanza entre p y q)

      

    

2. Segunda demostración, para conocer las probabilidades :
   Representación de A1 =
   • Gráfica A1A1: : D x 1 luego A1 está incluido A1A1
   • o Gráfica A1A2: H x 1/2 luego A1 está entre A1A2
     suma: -> -> P(A1) = D + H/2
   De igual forma para A2 ...;

II-1 EJERCICIO

Supongamos :

Calcula las frecuencias siguientes : F(P: fenotipos), F(G: genotipos), F(A: alelos), F(gametos) : F(A) = F(gam), porque hay un alelo (para cada gen) por gameto. Además, F(p) = F(G), porque son alelos codominantes.

confirmando:S(p,q)=1

 

III-MODELO DE HW

En una población con un número infinito de individuos (por ejemplo una población suficientemente grande), panmíctica ( sus habitantes eligen pareja al azar) y en la que no hay ni mutación ni selección, las frecuencias genotípicas pueden calcularse a partir de (p+q)², siendo p y q las frecuencias alélicas.

FIG.1

En la figura se ponen de manifiesto las relaciones entre frecuencias alélicas q de a y las frecuencias genotípicas en el caso de dos alelos en un sistema panmíctico. La mayor frecuencia de heterocigotos, H, es alcanzada cuando p = q y H = 2pq = 0.50. Sin embargo cuando un alelo es poco frecuente (por ejemplo q es muy raro), todos los sujetos quienes presentan este alelo son heterocigotos.

III-1. DEMONSTRACIÓN DE LA LEY

Consideremos, A como un gen autosómico que se encuentra en la población en forma de dos alelos, A1 y A2 (con la misma frecuencia en ambos sexos). Como el gen es dominante, se pueden distinguir tres genotipos. Teniendo en cuenta las hipótesis del modelo Hardy-Weinberg (HW), los individuos de la generación siguiente n + 1 se formarán por la reunión al azar de todos los gametos posibles masculinos y femeninos.
En efecto, sí, en la generación n, la probabilidad de A1 es p, para el cigoto A1A1 originado por la fecundación p x p = p² de la misma forma para A2, la formación de cigotos A2A2 es q x q = q². La probabilidad de heterocigotos es pq + pq = 2pq. Finalmente, p² + 2pq + q² = (p+q)² = 1

Tabla de gametos

• (Las frecuencias alélicas pueden ser utilizadas para calcular las frecuencias genotípicas siempre que sean sujetos incluidos en la ley de HW)
• Las frecuencias alélicas no varían al pasar de una generación a otra.
• Las frecuencias genotípicas no varían al pasar de una generación a otra.

III-2. EJERCICIOS

• ejercicio : Demuestra que en ausencia de panmixia, dos poblaciones con frecuencias similares pueden tener frecuencias genotípicas distintas (haciendo esto demuestra que hay pérdida de información entre genotipo y frecuencias alélicas).
  Ejemplo : para p = q = 0,5.

respuesta

Si H = 0	=>	p= D + H/2 = 0.5	=>	D = 0.5	H = 0	R = 0.5
Si H = 1	=>	D = R = 0	=>	D = 0	H = 1	R = 0

• ejercicio: Cálculo de las frecuencias genotípicas y alélicas, cálculo del número teórico de individuos, y la confirmación de que los sujetos están en equilibrio HW:

AA	AB	BB
1787	3039	1303	N=6129
DN	HN	RN

 

 

respuesta :

F(A) = (1787 + 3039/2) / 6129 = 0.54 = p
F(B) = (1303 + 3039/2) / 6129 = 0.46 = q  y  S(p,q)=1

 

Frecuencias genotípicas para conocer por HW :

AA	p2= (0.54)2 = 0.2916
AB	2pq = 2 x 0.54 x 0.46 = 0.4968
BB	q2 = (0.46)2 = 0.2116

 

 

 

Numbero de predictores para HW :

AA	p2	N = 0.2916 x 6129 = 1787.2
AB	2pq	N = 0.4968 x 6129 = 3044.9
BB	q2	N = 0.2116 x 6129 = 1296.9

 

Confirmación :

c 2=	(0i - Ci)2	=	(1787 - 787.2)2	+	(3039 - 3044.9)2	+	(1303 - 1296.9)2	=	NS
	Ci		1787.2		3044.9		1296.9

—› Estamos en equilibrio de HW

III-3. CONSECUENCIAS DE LA LEY

Cambio en HW a través de las generaciones (demostración de que las frecuencias son invariables). En una población sujeta a HW, un equilibrio en la distribución de la frecuencia de genotipos se alcanza después de un solo ciclo reproductivo. Es una población en la generación n .

 

III-3.1. ¿CUAL SERÁ LA FRECUENCIA DE ALELOS EN LA GENERACIÓN n+1?

	A1A1	A1A2	A2A2
n	p2	2pq	q2

 

 

n + 1	F(A1) = D + H/2 = p2 +1/2 (2pq) = p (p+q) = p
	F(A2) = R + H/2 = q2 +1/2 (2pq) = q (p+q) = q

 

 

-> no hay cambio en la frecuencia de alelos:
en la generación n, tenemos p y q
en la generación n+1, tenemos p y q

 

III-3.2. ¿ CUAL SERÁ LA FRECUENCIA DE GENOTIPOS EN LA EN LA GENERACIÓN n+1 ?

	Varón	p2	2pq	q2
Hembra		A1A1	A1A2	A2A2
p2	A1A1	A1A1	A1A1	No A1A1
2pq	A1A2	1/2A1A1	1/4A1A1	no A1A1	Generación n+1
q2	A2A2	no A1A1	no A1A1	no A1A1

 

 

 

 

Frecuencia de (A1A1) en la generación n+1 :
F(A1A1) = (p²)² + 1/2 (2 pq.p²) + 1/2 (p².2pq) + 1/4 (2pq)²
               = p⁴ + p³q + p³q + p²q² = p² (p² + 2pq + q²)
               = p²

La frecuencia de el genotipo (A1A1) no cambia entre la generación n y la generación n+1 (la misma demostración que para los genotipos (A2A2 ) y (A1A2)). La estructura de genotipos no sufre posteriores cambios una vez que la población alcanza el equilibrio de Hardy Weinberg.

En muchos ejemplos, las frecuencias vistas en la población natural está de acuerdo con la predicha por la ley de Hardy-Weinberg.

 

III-3.3. EJEMPLO

Los grupos sanguíneos humanos MN.

Grupo	MM	MN	NN
Número:	1787	3039	1303	Total, N = 6129

Frecuencia de M = (1787 + 3039/2)/ 6129 = 0.540 = p
Frecuencia de N = (1303 + 3039/2)/6129 = 0.460 = q

Proporción prevista de MM = p² = (0.540)2 = 0.2916
Proporción prevista de MN = 2pq = 2(0.540)(0.460) = 0.4968
Proporción prevista de NN = q² = (0.460)2= 0.2116

Números previstos por Hardy-Weinberg :
for MM = p²N = 0,2916 x 6129 = 1787.2
for MN = 2pqN = 0,4968 x 6129 = 3044.9
for NN = q²N = 0,2116 x 6129 = 1296.9

En esta situación , no es necesario hacer el test de c² para ver que los números reales no son estadísticamente diferentes de los predichos.

IV- EXTENSION DE HW A OTRAS SITUACIONES DE GENES

IV-1. PARA UN GEN AUTOSÓMICO, TRIALÉLICO, CO-DOMINANTE

Habrá 6 genotipos :

IV-2. PARA UN GEN AUTOSÓMICO, DIALÉLICO, NO CO-DOMINANTE

A es dominante sobre a, que es recesivo; en este caso los genotipos (AA) y (Aa) no pueden distinguirse dentro de la población. Sólo los individuos con el fenotipo [A], número N1, serán distinguibles de los individuos con fenotipo [a], número N2.

con q² = N2/N = N2 / (N1 + N2)

Y la frecuencia del alelo a : F(a) =(q²)^1/2 = (N2/(N1 + N2))^1/2
Este es un método común usado en genética humana para calcular la frecuencia de genes recesivos raros.

Las frecuencias de homocigotos y heterocigotos para genes humanos raros recesivos :

IV-3. PARA UN GEN AUTOSÓMICO, TRIALÉLICO, NO CO-DOMINANTE

Ejemplo :

El sistema de grupos sanguíneos ABO. Aunque el sistema de grupos sanguíneos humanos (ABO) se toma a menudo como un ejemplo simple de polialelismo, es de hecho una situación relativamente compleja que combina la codominancia de A y B, la presencia de un alelo nulo O y la dominancia de A y B sobre O.

Si tomamos : p para designar la frecuencia del alelo A, q para designar la frecuencia del alelo B => (p + q + r = 1)

La diferencia entre la frecuencia de fenotipos y genotipos se encuentran aplicando la ley de Hardy-Weinberg.

Usando :
p² +2pr + r² = (p + r)²
q² +2qr + r² = (q + r)²

Donde :
F[A] + F[O] = (p+ r)²
F[B] + F[O] = (q+ r) ²
F[O] = r²

IV-3.1. ECUACIÓN DE BERNSTEIN (1930)

La ecuación de Bernstein (1930) simplifica los cálculos:
p = 1 - (F[B] + F[O])^1/2
q = 1 - (F[A] + F[O])^1/2
r = (F[O])^1/2

Entonces, si p+q+r # 1, corrección por la desviación D = 1 - (p + q + r) -->
p'= p (1 + D/2)
q'= q (1 + D/2)
r'= (r + D/2) (1 + D/2)

Ejemplo :

p = 1 - (0.3660+0.1415)1/2 = 0.2876
q = 1 - (0.3660+0.4323)1/2 = 0.1065
r = 0.6050
p+q+r = 0.9991 ... --> p'= 0.2877, q'= 0.1065, r'= 0.6057

IV-4. PARA UN GEN HETEROSÓMICO (= gonosómico)

IV-4.1. CROMOSOMA Y :

Frecuencia de p y q en sujetos XY; transmisión a descendientes varones.

IV-4.2. CROMOSOMA X :

p.e. la frecuencia del alelo q, es qx en el hombre, y qxx en la mujer :

• El cromosoma X de los hijos (en la generación n) es transmitido por las madres (generación n-1) --> q_x ⁽ⁿ⁾ = q_xx ^(n-1)

• El cromosoma X que lleva el alelo q en las hijas tiene 1/2 de probabilidades de provenir de sus padres, 1/2 de probabilidades de provenir de sus madres.

  —› q_xx ⁽ⁿ⁾ = q_x ^(n-1) + q_xx ^(n-1) / 2 —› la frecuencia del alelo en el hombre = la frecuencia en la mujer en la generación previa
  —› la frecuencia del alelo en la mujer = media de las frecuencias en los 2 sexos en la generación previa.

  * cálculo de la diferencia en la frecuencia de alelos entre los 2 sexos:
  q_x ⁽ⁿ⁾ - c_x ⁽ⁿ⁾ = q_xx ^(n-1) - (q_xx ^(n-1))/2 - (q_xx ^(n-1)) /2 = - 1/2 (q_x ^(n-1) - q_xx ^(n-1))

  --> q_x ⁽ⁿ⁾- q_xx ⁽ⁿ⁾ = (- 1/2)ⁿ (q_x ⁽⁰⁾ - q_xx ⁽⁰⁾) : tiende hacia cero en 8 a 10 generaciones

  
  * frecuencia media de q :
  1/3 of los cromosomas X pertenecen a los hombres, 2/3 a las mujeres :
  q = 1/3 q_x ⁽ⁿ⁾ + 2/3 q_xx ⁽ⁿ⁾
  La frecuencia media es invariable (desarrolla q1 a q0 ...... --> q1 = q0).
  En equilibrio, q ^(e) est : q_x ^(e) = q_xx ^(e) = q ^(e)

  * ejercicio : Para la generación G0, formada por un 100% de hombres normales y un 100% de mujeres daltónicas, calcula la frecuencia del gen hasta G6:

  respuesta :

G0 :	XNY	XDXD
G0	qx(0) = 0.00	qxx(0) = 1.00
G1	qx(1) = 1.00	qxx(1) = 0.50
G2	qx(2) = 0.50	qxx(2) = 0.75
G3	qx(3) = 0.75	qxx(3) = 0.63
G4	qx(4) = 0.63	qxx(4) = 0.69
G5	qx(5) = 0.69	qxx(5) = 0.66
G6	qx(6) = 0.66	qxx(6) = 0.60

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

FIG.2

 

Por tanto: para un locus ligado al sexo, el equilibrio de Hardy Weinberg se alcanza asintomáticamente después de 8-10 generaciones, mientras que se alcanza tras una generación en un locus autosómico.

V- CONSECUENCIAS DE LA LEY DE HW

• Independientemente de que estemos en una situación sujeta a HW o no, las frecuencias de genotipos (D, H, R) pueden ser usadas para calcular la frecuencia de alelos (p,q), desde : p = D + H/2, q = R + H/2.
• Mientras que, si y sólo si estamos sujetos a HW, las frecuencias de genotipos pueden ser calculadas desde las frecuencias de alelos, desde D = p², H = 2pq, R = q².
• Las relaciones de dominancia entre alelos no tienen efecto sobre el cambio en las frecuencias de alelos (¡aunque ellas afectan a la dificultad de los ejercicios!)
• Las frecuencias de alelos permanecen estables con el paso del tiempo; del mismo modo que la frecuencia de genotipos.
• La segregación mendeliana al azar de los cromosomas preserva la variabilidad genética de las poblaciones.
• Ya que "la evolución" se define como un cambio en las frecuencias de alelos, una población ideal diploide no evoluciona.
• Solamente las violaciones en las propiedades de una población ideal es lo que permite que el proceso de evolución se lleve a cabo.
• La aproximación práctica a un problema es siempre la misma:

   

  1. Los números Observados --> las frecuencias de genotipos (Observadas);
  2. Calcular las frecuencias de Alelos: p=D/2 + S Hi/2 , q = ...
  3. Si estamos sujetos a HW (hipotéticamente), entonces D=p², H= 2pq, etc ... : calculamos las frecuencias Teóricas de genotipos de acuerdo con HW.
  4. Las frecuencias de genotipos calculadas --> los números calculados;
  5. Comparación de Números Observados – Números Calculados: : c² = (Oi - Ci)²/Ci
  6. Si c² es significativa: nosotros no estamos de acuerdo con HW; así
     ---> Consanguinidad ?
     ---> Selección?
     ---> Mutaciones ?